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  <title>如何理解矩阵转置和求逆的可交换性？ | 张晨刚</title>
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  <meta name="description" content="这是一个有趣的问题，但是要理解它不简单，甚至你会后悔干嘛要去理解什么几何。由于过程很长，我帮你理一下思路：矩阵（算子）对应于一个空间中的子空间（平面），取逆和取对偶（转置）变成一个空间上的简单变换。这两个变换是显然可交换的。 对了，矩阵的对偶是转置在复数域上的推广，一个矩阵的对偶是取转置后取复数共轭。一个实矩阵的对偶和转置是一样的。 要理解这个问题，需要了解什么叫Krein空间。我就不玩复杂的，尽">
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<meta property="og:title" content="如何理解矩阵转置和求逆的可交换性？">
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<meta name="twitter:title" content="如何理解矩阵转置和求逆的可交换性？">
<meta name="twitter:description" content="这是一个有趣的问题，但是要理解它不简单，甚至你会后悔干嘛要去理解什么几何。由于过程很长，我帮你理一下思路：矩阵（算子）对应于一个空间中的子空间（平面），取逆和取对偶（转置）变成一个空间上的简单变换。这两个变换是显然可交换的。 对了，矩阵的对偶是转置在复数域上的推广，一个矩阵的对偶是取转置后取复数共轭。一个实矩阵的对偶和转置是一样的。 要理解这个问题，需要了解什么叫Krein空间。我就不玩复杂的，尽">
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    <a href="/2018/04/13/如何理解矩阵转置和求逆的可交换性？/" class="article-date">
  <time datetime="2018-04-13T08:31:06.000Z" itemprop="datePublished">2018-04-13</time>
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      如何理解矩阵转置和求逆的可交换性？
    </h1>
  

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        <p>这是一个有趣的问题，但是要理解它不简单，甚至你会后悔干嘛要去理解什么几何。<br>由于过程很长，我帮你理一下思路：<br><strong>矩阵（算子）对应于一个空间中的子空间（平面），取逆和取对偶（转置）变成一个空间上的简单变换。这两个变换是显然可交换的。</strong></p>
<p><strong>对了，矩阵的对偶是转置在复数域上的推广，一个矩阵的对偶是取转置后取复数共轭。一个实矩阵的对偶和转置是一样的。
</strong><br>要理解这个问题，需要了解什么叫Krein空间。我就不玩复杂的，尽量简单点。一个从<img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BH%7D%3A%3D%5Cmathbb%7BC%7D%5En" alt="\mathcal{H}:=\mathbb{C}^n">映到自己的矩阵（线性映射）<img src="//www.zhihu.com/equation?tex=A" alt="A">可以看成是积空间<img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7B2n%7D%3D%5Cmathcal%7BH%7D%5Ctimes%5Cmathcal%7BH%7D%3D%5Cmathcal%7BH%7D%5E2" alt="\mathbb{C}^{2n}=\mathcal{H}\times\mathcal{H}=\mathcal{H}^2">中的一个线形闭子空间（也有人管这个叫“图”），就是说我们定义<br><img src="//www.zhihu.com/equation?tex=y%3DAx%5CLongleftrightarrow+%28x%2Cy%29%5E%7BT%7D%5Cin+A" alt="y=Ax\Longleftrightarrow (x,y)^{T}\in A">,<br>（右边的<img src="//www.zhihu.com/equation?tex=A" alt="A">不再是一个矩阵了，而是一个空间）。其实不难理解，一个矩阵可以看成是一个它的图像，也就是说一个平面,放过来，一个（足够好的）平面唯一的确定一个矩阵。</p>
<p>于是我们可以把它的逆也看成一个子空间<img src="//www.zhihu.com/equation?tex=A%5E%7B-1%7D%3A%3D%5C%7B%28y%2Cx%29%5ET%5Cin+%5Cmathcal%7BH%7D%5E2%3B+%28x%2Cy%29%5ET%5Cin+A%5C%7D" alt="A^{-1}:=\{(y,x)^T\in \mathcal{H}^2; (x,y)^T\in A\}"><br>可以简单的证明，这个空间对应的矩阵刚好是矩阵的逆矩阵。</p>
<p>我们可以引入一个向量逆运算：对于 一个向量<img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7Bf%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7Df%5C%5C+f%27%5Cend%7Bpmatrix%7D" alt="\hat{f}=\begin{pmatrix}f\\ f">, 定义它的逆<img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7Bf%7D%5E%7B-1%7D%3A%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7Df%27%5C%5C+f%5Cend%7Bpmatrix%7D" alt="\hat{f}^{-1}:=\begin{pmatrix}f">. 于是<img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7Bf%7D%5Cin+A" alt="\hat{f}\in A">当且仅当<img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7Bf%7D%5E%7B-1%7D%5Cin+A%5E%7B-1%7D" alt="\hat{f}^{-1}\in A^{-1}">. </p>
<p>对于空间<img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BH%7D%5E2" alt="\mathcal{H}^2">,我们引入下面的Krein内积。</p>
<p><img src="https://pic4.zhimg.com/v2-a75344b7593c51c0905a7f4fcc20f59b_b.png?rss" alt=""><br>这里：<img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%28f%2Cg%29_%7B%5Cmathcal%7BH%7D%7D%3Df%5Ccdot+%5Coverline%7Bg%7D" alt="(f,g)_{\mathcal{H}}=f\cdot \overline{g}">.<br>于是，矩阵的对偶矩阵可以看成是这个空间在krein内积下的正交空间。</p>
<p><img src="https://pic3.zhimg.com/v2-b096f9de906d8cf92462d026ef660a5a_b.png?rss" alt=""><br>（想一想为什么？），有了这些几何理解后，下面的结果就是简单。</p>
<p><img src="https://pic1.zhimg.com/v2-795526d5c0ebd1aa86d655186b1168ec_b.png?rss" alt=""><br>我有时间再解释吧，这种思维可以推广到更一般的情况。<strong>这种把算子看成空间的思维是现在泛函分析的一般方法了，没什么好奇怪的</strong>。</p>
<p>来源：知乎 <a href="http://www.zhihu.com" target="_blank" rel="noopener">www.zhihu.com</a></p>
<p>作者：<a href="http://www.zhihu.com/people/dhchen?utm_campaign=rss&amp;utm_medium=rss&amp;utm_source=rss&amp;utm_content=author" target="_blank" rel="noopener">dhchen</a></p>
<p>【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。<br>        <a href="http://daily.zhihu.com?utm_source=rssyanwenzi&amp;utm_campaign=tuijian&amp;utm_medium=rssnormal" target="_blank" rel="noopener">点击下载</a></p>
<p>此问题还有 <a href="http://www.zhihu.com/question/53736888/answer/141069184?utm_campaign=rss&amp;utm_medium=rss&amp;utm_source=rss&amp;utm_content=title" target="_blank" rel="noopener">7 个回答，查看全部。</a></p>
<pre><code>延伸阅读：
</code></pre><p><a href="http://www.zhihu.com/question/24095027?utm_campaign=rss&amp;utm_medium=rss&amp;utm_source=rss&amp;utm_content=title" target="_blank" rel="noopener">在进行线性回归时，为什么最小二乘法是最优方法？</a></p>
<p><a href="http://www.zhihu.com/question/20962240?utm_campaign=rss&amp;utm_medium=rss&amp;utm_source=rss&amp;utm_content=title" target="_blank" rel="noopener">如何用简单易懂的例子解释隐马尔可夫模型？</a>从更几何一点的角度来说，有限维线性空间里的泛函可以看作是一维的线性映射，所以它有n-1维的核空间，也就是这个空间里的向量经过泛函作用之后得到了0。如果我们在这个线性空间上按照欧式几何规定内积</p>
<p><img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%3C%5Calpha%2C+%5Cbeta%3E+%3D+%5Cbeta%5ET%5Calpha+%3D+%5Calpha%5ET%5Cbeta" alt="&lt;\alpha, \beta&gt; = \beta^T\alpha = \alpha^T\beta"></p>
<p>泛函的特征向量实际上就是这个核空间的正交补，或者用更几何的说法，它的特征向量就是这个n-1维超平面的法向量。注意同一个超平面的法向量可以有不同的方向（正负）以及长度，它们对应了线性相关的一组泛函。</p>
<p>考虑一个n维到n维的线性映射A，它将一个n-1维超平面映射到了另一个超平面，这个新的超平面也有对应的法向量，一般来说它并不是原来的法向量经过A映射得到的结果，因为一般的线性映射并不会保证内积的不变性。那么新的法向量和原来的法向量究竟是什么关系呢？</p>
<p>实质上就是要找到一个映射B，使得：</p>
<p><img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%3CA%5Calpha%2C+B%5Cbeta%3E+%3D+%3C%5Calpha%2C+%5Cbeta%3E" alt="&lt;A\alpha, B\beta&gt; = &lt;\alpha, \beta&gt;"></p>
<p>对于内积来说，有</p>
<p><img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%3CA%5Calpha%2C+%5Cbeta%3E+%3D+%3C%5Calpha%2C+A%5ET%5Cbeta%3E" alt="&lt;A\alpha, \beta&gt; = &lt;\alpha, A^T\beta&gt;"></p>
<p>因此显然有</p>
<p><img src="//www.zhihu.com/equation?tex=B+%3D+%28A%5ET%29%5E%7B-1%7D" alt="B = (A^T)^{-1}"></p>
<p>可见A与 <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%28A%5ET%29%5E%7B-1%7D" alt="(A^T)^{-1}"> 是一对保证内积不变的线性映射，将它们分别作用于两个向量，可以使得两个向量的内积保持不变。</p>
<p>但是内积是对称的，那么如果我反过来，将 <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%28A%5ET%29%5E%7B-1%7D" alt="(A^T)^{-1}"> 作用到n-1维平面上，那法向量的线性映射就是A了，这说明取转置再取逆这个操作，重复执行两次，能得到原始的线性映射！于是我们就得到</p>
<p><img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%28%28%28A%5ET%29%5E%7B-1%7D%29%5ET%29%5E%7B-1%7D+%3D+A" alt="(((A^T)^{-1})^T)^{-1} = A"></p>
<p>也就是</p>
<p><img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%28A%5ET%29%5E%7B-1%7D+%3D+%28A%5E%7B-1%7D%29%5ET" alt="(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T"></p>
<p>这是从保持内积不变的角度来讨论。从这里也可以看出，保内积的两个映射永远是一对，如果去掉取逆的过程，就是之前的对偶的概念了。</p>
<p>来源：知乎 <a href="http://www.zhihu.com" target="_blank" rel="noopener">www.zhihu.com</a></p>
<p>作者：<a href="http://www.zhihu.com/people/ling-jian-94?utm_campaign=rss&amp;utm_medium=rss&amp;utm_source=rss&amp;utm_content=author" target="_blank" rel="noopener">灵剑</a></p>
<p>【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。<br>        <a href="http://daily.zhihu.com?utm_source=rssyanwenzi&amp;utm_campaign=tuijian&amp;utm_medium=rssnormal" target="_blank" rel="noopener">点击下载</a></p>
<p>此问题还有 <a href="http://www.zhihu.com/question/53736888/answer/363052047?utm_campaign=rss&amp;utm_medium=rss&amp;utm_source=rss&amp;utm_content=title" target="_blank" rel="noopener">7 个回答，查看全部。</a></p>
<pre><code>延伸阅读：
</code></pre><p><a href="http://www.zhihu.com/question/24095027?utm_campaign=rss&amp;utm_medium=rss&amp;utm_source=rss&amp;utm_content=title" target="_blank" rel="noopener">在进行线性回归时，为什么最小二乘法是最优方法？</a></p>
<p><a href="http://www.zhihu.com/question/20962240?utm_campaign=rss&amp;utm_medium=rss&amp;utm_source=rss&amp;utm_content=title" target="_blank" rel="noopener">如何用简单易懂的例子解释隐马尔可夫模型？</a></p>

      
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